a Gradien garis lurus
adalah gradien garis lurus atau koefisien garis adalah ukuran kemiringan suatu garis terhadap sumbu x positif.
Gradien garis lurus umumnya dinyatakan dengan : m
Perhatikan gambar
—m₁ > m₂ ; kemiringan garis 2 terhadap sumbu x > kemiringan garis 1 ,artinya garis 2 lebih dekat ke sumbu y dari pada garis 1
Menentukan Gradien garis lurus
Persamaan umumnya :
Contoh : tentukan gradien garis lurus dari persamaan berikut :
a. 4x + 2y = 0
b. y = 3x + 2
c. -10x + 5y + 20 = 0
Jawab :
—a. 4x + 2y = 0
4x – 4x + 2y = - 4x + 0 dikali -4x masing-masing ruas.
0 + 2y = -4x + 0
2y = -4x
y = -2x
y = mx + c
m = -2 dan c = 0 artinya garis melalui titik pusat O (0 , 0)
Cara lain :
4x + 2y = 0 pindah ke ruas kanan menjadi :
2y = -4x + 0
2y = -4x
y = -2x
y = 3x + 2
sudah berbentuk y =...
y = mx + c
m = 3 dan c = 2
c. -10x + 5y + 20 = 0 pindah ke ruas kanan
5y = 10x – 20
y = 2x – 4
m = 2 dan c = 4
Menentukan Gradien dari titik koordinat
Gradien garis lurus yg melalui dua titik koordinat , misalnya titik A (x₁ , y₁) dan titik B
(x₂ , y₂) dapat dirumuskan sbb :
y2 - y1
M AB = --------------
x2 - x1
Contoh :
—Tentukan gradien garis lurus yg melalui:
a. Titik P(3, 6) dan Q(5, -8)
b. Titik A(2, 4) dan titik pusat O(0, 0)
Jawab :
P(x₁ , y₂) = P(3 ,6) dan Q(x₂ , y₂) = (5, -8)
a. y2 - y1 (-8) - (-6)
M PQ = ------------ = -----------------
x2 - x1 5 - 3
= (-14) / 2 = -7
b. A(x₁ , y₁) = A(2, 4) dan O(x₂, y₂) =(0,0)
y2 - y1 0 - 4
M AO = ------------- = -----------
x2 - x1 0 - 2
= (-4) / (-2) = 2
LATIHAN :
1. Gradien garis yg melalui titik (2, 1) dan (4, 7) adalah.........?
Jawab :
(x₁ , y₁) = (2, 1)
(x₂ , y₂) = (4 , 7)
Gradien garis yg melalui titik-titik tersebut adalah :
y2 - y1 7 - 1 6
m = ----------- = ---------- = ------ = 3
x2 - x1 4 - 2 2
Gradien garis 3x + 5y – 6 = 0 adalah..........?
Jawab :
3x + 5y – 6 = 0
5y = -3x + 6
y = - 3/5x + 6/5
y = - 3/5
Menentukan Persamaan Garis Lurus
A Persamaan garis lurus melalui titik (x₁, y₁) dan titik (x₂, y₂)
Rumus :
y2 - y1
y - y1 = ----------- ( x - x1 )
x2 - x1
dimana ;
y2 - y1
Gradien = m = ---------------
x2 - x1
—.Tentukan persamaan garis yg melalui titik
—. P(3,6) dan titik Q(5,-8)
—.Jawab : P(x₁, y₁) = P(3, 6)
—. Q(x₂, y₂) = Q(5, -8)
y2 - y1
m = y - y1 = ----------- ( x - x1 )
x2 - x1
(-8) - (6)
y - 6 = -------------- ( x - 3 )
5 - 3
( - 14 )
y - 6 = -------------- ( x - 3 )
2
y - 6 = - 7 ( x - 3 )
y - 6 = - 7x + 21
y = -7x + 21 + 6
y = -7x + 27
Persmaan garis yg melalui titik (x₁, y₁) dan gradien garis lurus :
Rumus : y - y1 = m(x - x1)
dimana ; m = gradien
Contoh : Tentukan persamaan garis yg melalui titik
A(1 , 2) & gradien garis m= -2—Jawab : A(x₁, y₁) = m(1 , 2)
— m = -2
—Persamaan garis yg melalui titik A :
—y – y₁ = m(x – x₁)
—y – 2 = -2(x – 1)
—y – 2 = -2x + 2
— y = -2x + 2 + 2
— y = -2x + 4
Membuat grafik garis lurus
—Persamaan garis lurus secara umum dinyatakan dalam bentuk :
ax + by + c = 0
Cara membuat grafik garis lurus yg telah diketahui :
1 Tentukan titik potong garis pada masing-masing sumbu :
- memotong sumbu x syarat y = 0
- memotong sumbu y syarat x = 0
2 Tarik garis dan hubungkan titik potong masing masing sumbu.
Contoh : Buatlah grafik garis x + 2y = 4
Jawab :
Jawab :
x + 2y = 4
—.Titik potong pd masing-masing sumbu:
—. - memotong sumbu x : syarat y = 0
—. x + 2(0) = 4 y
—. x = 4
—.titik potong sumbu x:(4, 0)
—.- memotong sumbu y : syarat x = 0 2
—. 0 + 2y = 4
—. Y = 2
—.titik potong sumbu y : (0 , 2)
Hubungan Antar Garis
—Dua buah garis lurus dengan persamaan y₁ = m₁x + c₁ dan y₂ = m₂ + c₂ ,
hubungannya sebagai berikut :
—A Bila sejajar syaratnya : m₁ = m₂
—B Tegak lurus syaratnya : m₁ x m₂ = -1
Contoh : Persamaan garis yg melalui titik (-2, 3) dan tegak lurus garis 2x + 2y = 6 adalah.......?
—Jawab : Garis-1 melalui titik (-2, 3)
— Garis-2 melalui titik 2x + 3y = 6
—Hubungan kedua garis tegak lurus, berlaku :
—m₁ x m₂ = -1 .........................(i)
—Gradien garis 2x + 3y = 6 :
—2x + 3y = 6
— 3y = -2x + 6
— y = - 2/3x + 2
— m₂ = - 2/3 ........................(ii)
—Substitusikan pers. (ii) ke pers. (i) diperoleh :
—m₁ x m₂ = -1
—m₁ x (- 2/3) = -1 m₁ = 3/2 .................(iii)
Persamaan garis yg melalui titik (-2, 3) dengan gradien m₁ = 3/2 adalah :
— y – y₁ = m(x – x₁)
— y – y₁ = 3/2 (x – (-2))
—2(y – 3) = 3(x – (-2))
— 2y – 6 = 3(x + 2)
— 2y – 6 = 3x + 6
— 2y = 3x + 6 + 6
— 2y = 3x + 12
2y – 3x – 12 = 0
LATIHAN :
1.Garis 1 sejajar dengan garis 2x + 5y – 1 = 0 dan melalui titik (2 , 3)
Persamaan garis adalah ........?
Jawab :
Garis 1 : melalui titik (2 , 3)
Garis 2 : 2x + 5y – 1 = 0
Hubungan kedua garis sejajar berlaku :
m₁ = m₂ ........................(i)
Gradien garis-2 (m₂) :
2x + 5y – 1 = 0
5y = - 2x + 1
y = - 2/5x + 1/5
m₂ = - 2/5 ..................................(ii)
—Substitusi pers. (ii) ke pers. (i), diperoleh :
—m₁ = m₂
—m₂ = - 2/5 ............................(iii)
—Persamaan garis yg melalui titik (2, 3) dengan gradien m₁ = - 2/5 :
—y – y₁ = m(x – x₁)
—y – 3 = - 2/5 (x – 2)
—5(y – 3) = -2(x – 2)
—5y – 15 = -2x + 4
— 5y = -2x +4 + 15
— 5y = -2x + 19
— 5y + 2x – 19 = 0
2Persamaan garis lurus yg melalui titik (2, 5) dan tegak lurus garis x – 2y + 4 = 0 adalah...........?
3Diketahui : A(3, 4) , B(2, -7), dan C(a ,5). Jika garis yg melalui titik A dan B tegak lurus garis yg melalui titik B dan C , nilai a adalah..............?
4Gradien persamaan garis x/6 + y/3 = 1 adalah........
5Diketahui garis ax + 3y – 5 = 0 dan 2x – by – 9 = 0. Jika kedua garis itu berpotongan di titik (2, -1) , nilai a+b = ...................?
